Фамилия Мозжаков — одна из тех, где внешне понятный корень скрывает неожиданный поворот. На первый взгляд, основа «мозжак» напоминает слово «мозг», и возникает соблазн связать прозвище с умом или, наоборот, с «мозгляком» — хилым человеком. Но здесь работает другой, более конкретный механизм: в русских говорах «мозжать» означало «докучать, надоедать, ныть». Соответственно, Мозжак — это прозвище для ворчливого, приставучего человека, который постоянно «мозжит» одно и то же. Суффикс -ак типичен для прозвищ, характеризующих поведение: Гуляк, Кричак, Смеляк. Так что первый носитель фамилии был, скорее всего, не умником, а тем, кого в деревне называли нытиком или занудой.

Словообразовательная модель проста и прозрачна: прозвище Мозжак + патронимический суффикс -ов, дающий в итоге «сын Мозжака». Фамилия образована на русской почве, без тюркских или финно-угорских примесей, и входит в обширный пласт прозвищных фамилий на -ак/-як. Аналоги по модели: Рыжак → Рыжаков, Добряк → Добряков, Косак → Косаков. Интересно, что фамилия Мозжаков почти не встречается в старых боярских или дворянских списках — она бытовала в крестьянской и мещанской среде, что подтверждается её географией: основные очаги — Вологодская, Архангельская и Кировская области, то есть северные и северо-восточные регионы, где говор сохранил слово «мозжать» в бытовом обиходе.

Встречается вариант написания с одной «з» — Можаков, но это, скорее всего, результат упрощения при записи или диалектного произношения. В переписных книгах XVII века фамилия не фиксируется, что говорит о её относительно позднем закреплении — в XVIII–XIX веках, когда прозвища окончательно перешли в наследственные фамилии у непривилегированных сословий. Если ваш предок был Мозжаковым, он с большой вероятностью происходил из северных деревень, где его прародителя знали как надоедливого говорливого мужика — без обид, таковы были реалии прозвищной системы.