Фамилия Мураиьёв — редкий и неочевидный случай. На первый взгляд она похожа на «Муравьёв», но это именно что разное написание, а не ошибка. Если вы встретили именно такой вариант (через «и» и с «ь» после «и»), то перед нами, скорее всего, фамилия, образованная от прозвища или имени, а не от насекомого.

Корень здесь — «Мураи». В русских говорах слово «мурай» или «мура» могло означать «муравей», но это не единственное значение. В диалектах «мура» — это «трава», «мелкий кустарник», а также «томный, печальный человек». Однако самая вероятная версия связана с тюркским влиянием. В татарском и башкирском языках имя Мурай (или Мура) — это вариант имени Мурад (от араб. «желанный», «цель»). Суффикс -ьёв (а точнее, -ев после мягкого знака) указывает на принадлежность: «Мураиьёв» — «сын Мурая».

Модель образования нестандартна. Обычно фамилии на -ев образуются от основ на мягкий согласный (Иван — Иванов, но Медведь — Медведев). Здесь же мы видим основу «Мураи» с последующим -ьёв. Это говорит о том, что фамилия могла возникнуть в среде, где письменная фиксация была непоследовательной, или же это диалектное произношение, где «и» перед «ё» дало мягкий звук. В любом случае, это не опечатка «Муравьёва», а самостоятельное образование.

Географически фамилия с таким написанием встречается в основном в Поволжье и на Урале — в регионах, где веками шло смешение русского и тюркского населения. Предки носителей фамилии Мураиьёв могли быть крещёными татарами, башкирами или чувашами, получившими фамилию по имени предка. Второй, менее вероятный вариант — прозвище «Мурай» в значении «медлительный, задумчивый человек» (от «мура» — «томление»), но это скорее исключение.

Сравните с однокоренными фамилиями: Муратов (от Мурат), Мураев (от Мурай), Мурашов (от «мураш» — муравей). Мураиьёв стоит особняком — он сохранил редкую фонетическую форму, которая не поддалась унификации. Если ваша фамилия пишется именно так, это верный признак того, что предки жили в зоне активного межэтнического контакта, а сама фамилия фиксирует их личное имя или прозвище, а не род занятий.