Фамилия Мягких напрямую отвечает на старорусский вопрос «Чьих будете?» — «из дома Мягких». Это классическая фамилия-патроним, только образованная не по обычной модели с суффиксом -ов/-ев, а по северорусской традиции, с окончанием -их/-ых. Такая форма указывала на принадлежность к целому роду или семейству, а не к одному конкретному человеку, и закрепилась в основном в северных и сибирских говорах, где было принято говорить «Мягких», а не «Мягков».

В основе фамилии лежит прозвище Мягкий, которое на Руси встречалось довольно часто. Скорее всего, оно содержало указание на особенности характера предка — добродушие, уступчивость, щедрость. Человек, которого так называли, был, вероятно, незлобивым и покладистым в общении, за что и получил своё прозвище. Впрочем, не стоит исключать и ироничного подтекста: в крестьянской среде прозвища нередко давали «от противного», поэтому Мягким могли окрестить и человека с жёстким, неуступчивым нравом, чтобы подчеркнуть обратное.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: прилагательное «мягкий» перешло в разряд существительных-прозвищ, а затем к нему добавилось фамильное окончание -их. Такой тип фамилий — один из самых редких в русском ономастиконе по сравнению с массовыми -ов и -ин, но именно он лучше всего сохраняет дух северной общины, где родство считалось не по отцу, а по всему семейному клану.

Стоит отметить, что фамилия Мягких не имеет отношения к какой-либо профессии или ремеслу — в отличие от многих других русских фамилий, её основа чисто характеризующая. Это не прозвище по занятию, а именно личная черта, закреплённая за родом. Поэтому искать в ней следы социального статуса или географического происхождения предка не стоит: она говорит о человеке, а не о его деле.

В написании фамилии возможны варианты: Мягких, Мягкий, Мягков. Последняя форма встречается реже и относится к южнорусской традиции, тогда как форма Мягких — исконно северная. Если вы носите фамилию Мягких, ваши предки, скорее всего, происходят из Архангельской, Вологодской, Вятской губерний или из Сибири, куда переселенцы с Севера принесли свой тип фамилий.