Фамилия Мягких восходит к прозвищу Мягкий, которое на Руси встречалось довольно часто. Скорее всего, прозвище содержало указание на особенности характера (добродушие, щедрость) предка. То есть фамилия Балеевских отвечает на вопрос: «Чьих будете?» - «(Из дома, из семьи Мягких)».