Фамилия Наговский почти наверняка указывает на географическое происхождение рода: так называли человека из деревни Нагово. Таких деревень на северо-западе России несколько, но наиболее вероятная «прародина» фамилии — Нагово в Старорусском районе Новгородской области. Сама модель образования простая и типичная для русских фамилий: суффикс -ский/-ской в старину закреплялся за выходцами из сёл и поместий, поэтому отвечает на вопрос «откуда ты?». Это отличает её от более массовых фамилий на -ов/-ин, которые чаще строились от личного имени или прозвища отца.

Топоним Нагово, в свою очередь, скорее всего, связан с корнем «наг», то есть «нагой, бедный». Такое название деревня получила неслучайно: земля там испокон веков была скудна на урожай, крестьяне жили бедно и вместо картофеля выращивали лён. То есть прозвище первопоселенцев или владельцев могло быть насмешливо-ироничным — «голь перекатная», живущая на голой, неплодородной почве. Впрочем, не стоит исключать и другую, более прозаичную версию: в некоторых говорах «нагой» означало «открытый, ничем не поросший», и деревня могла стоять на открытом, голом месте.

Есть и третья, социальная версия происхождения, которую ономасты обычно держат в уме, но редко выносят на первый план. В прошлом дворяне за заслуги перед Российским Престолом жаловались поместьями и деревнями, и не исключено, что Нагово было собственностью рода Наговских. В таком случае фамилия первоначально принадлежала не крестьянам, а землевладельцам, и лишь позже, после отмены крепостного права, её могли получить и бывшие крепостные по названию своего села. Однако для новгородской глубинки версия о «бедной земле» выглядит правдоподобнее: лён — культура, которая растёт именно на тощих почвах, и прозвищное имя Нагой в крестьянской среде встречалось часто.

Сравните с однокоренными фамилиями: Нагин, Наговицын, Нагой. Последняя, кстати, известна по боярскому роду Нагих, но это отдельная ветвь, и путать её с Наговскими не стоит. А вот Наговицын — фамилия из того же гнезда: её носили выходцы из деревень с корнем «наг-», только с другим суффиксом. Если ваш предок носил фамилию Наговский, он, скорее всего, был либо коренным жителем Нагова, либо потомком тех, кто перебрался в город и взял фамилию по месту рождения. Точных данных о первых носителях и датах возникновения фамилии нет — архивные источники по новгородским деревням сохранились фрагментарно, поэтому любая из трёх версий имеет право на существование, но первая, топонимическая, остаётся основной.