Фамилия Навалишин звучит как отчество, застывшее в форме притяжательного прилагательного: суффикс -ин указывает на принадлежность, поэтому буквальное значение — «сын Навалиши». В основе лежит прозвище Навалиша, которое исследователи связывают с глаголом «наваливать». В словаре Владимира Даля этот глагол означает «валить на что, на кого; накладывать, накидывать тяжесть или громоздкую вещь». Отсюда прямой шаг к «профессиональному» именованию: Навалишей могли прозвать грузчика, кладчика, того, кто наваливает товар или тяжести. Впрочем, не исключено и более простое бытовое прозвище — за манеру наваливаться на стол, на собеседника или за привычку брать на себя лишнюю работу, «наваливать» на себя чужие заботы.

Прозвища, образованные от глаголов с приставкой на-, в русской антропонимии не редкость, но фамилия Навалишин встречается заметно реже, чем, скажем, Навалихин или Навалов. Это делает её любопытным примером: прозвище Навалиша, судя по всему, не получило широкого распространения и закрепилось в одном-двух родах. Первоначально прозвище присоединяли к наследственному имени, но со временем оно полностью заменило его и в быту, и в документах, а затем дало жизнь фамилии. Такой путь — от уличного именования к официальному родовому — типичен для XVI–XVII веков, когда у крестьян и посадских людей фамилии только начинали складываться.

О точном месте и времени возникновения фамилии говорить сложно: процесс формирования русских фамилий растянулся на столетия, а письменные источники по таким «низовым» прозвищам часто утрачены. Но сама модель — прозвище на -ша плюс суффикс -ин — указывает на северорусское или, шире, славянское происхождение. В украинской традиции аналогичные фамилии тоже встречаются, но для Навалишина более вероятна великорусская почва. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в переписных книгах и исповедных ведомостях по центральным и северным губерниям России — там такие прозвищные фамилии фиксировались охотнее.