Фамилия Неделяй звучит как команда или насмешка, но на самом деле это память о дне недели. В основе лежит древнерусское слово «неделя», которым в старину называли не семидневку, а только один день — воскресенье. Семидневный цикл тогда именовали «седмицей». Отсюда и главная версия: мирское имя Неделяй давали младенцу, родившемуся в воскресенье. Такие имена-обереги были распространены на Руси: называя ребёнка по дню появления на свет, родители как бы закрепляли за ним удачу этого дня.

Суффикс -ай в этой фамилии необычен. Он встречается в прозвищах, образованных от глаголов, и придаёт слову оттенок действия или характера. Сравните с фамилиями типа Ломай, Стреляй, Гуляй. Поэтому нельзя полностью исключать вторую версию: что Неделяй — прозвище человека, который «не делает», то есть бездельничает. В этом случае основа — не «неделя», а «недело» (пустое, никчёмное занятие). Так могли в насмешку называть лентяя или болтуна, который занимается ерундой.

Правдоподобнее всё же первая гипотеза. Имя по дню рождения — слишком распространённый и естественный обычай, чтобы отбрасывать его в пользу сатирического прозвища. К тому же в древнерусской ономастике известны аналогичные имена: Понедельник, Суббота, Воскресение. Они встречаются в берестяных грамотах и писцовых книгах. Фамилия Неделяй, скорее всего, закрепилась за потомками человека, которого в округе знали как Неделяя — родившегося в воскресенье.

Стоит добавить, что фамилия редкая и почти не встречается за пределами России. В документах XIX века единичные носители фиксируются в южнорусских губерниях, где мирские имена дольше сохранялись в крестьянской среде. Возможно, изначально фамилия звучала как Неделяев, а форма без суффикса — результат упрощения в живой речи или при переписи. В любом случае, носитель фамилии Неделяй может с уверенностью сказать: его предок либо родился в воскресенье, либо получил шутливое прозвище за любовь к праздности. Точный ответ утрачен, но обе версии ведут в глубь веков, к временам, когда имя было не просто меткой, а характеристикой человека.