Фамилия Недергай — яркий образец украинской фамилии-прозвища, построенной по модели глагольного императива. Она образована от повелительного наклонения глагола «дергай» с отрицательной частицей «не». Буквально прозвище Недергай означало «не дергай», «не тронь», «не беспокой». Таким образом, в основе фамилии лежит не имя, не профессия, а характеристика поведения или даже наказ.

Словообразовательная модель «Не + глагол» очень характерна для украинской ономастики. По тому же принципу возникли фамилии Непийвода, Недайкаша, Нехай, Небаба. В случае с Недергай прозвище могли дать человеку медлительному, флегматичному, которого не стоило торопить, или, наоборот, раздражительному, которого советовали не трогать. Вторая версия, менее распространенная, связывает прозвище с коноплей: «недергай» — лен или конопля низкого качества, которую не стоит дергать (теребить) для обработки. Правдоподобнее первая версия: прозвища по характеру давали гораздо чаще, чем по качеству сельхозсырья.

Суффикса в фамилии нет — это чистая основа. Фамилия осталась в своей первоначальной форме, не обрастая типичными русскими суффиксами -ов или -ин. Это указывает на ее южнорусское или украинское происхождение, где такие «глагольные» фамилии нередко фиксировались в документах без изменений. Географически фамилия Недергай встречается в основном на территории Украины, особенно в центральных и восточных областях, а также среди потомков переселенцев на Кубани.

Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к казакам или крестьянам. В реестрах Запорожского войска и в метрических книгах Полтавской и Харьковской губерний XIX века фамилия фиксируется, но массовой не была. Сведений о дворянских родах Недергай нет — это фамилия простых людей, получивших прозвище за свой нрав или повадку.