Фамилия Недилько почти наверняка украинского происхождения, и ее основа — слово «неділя». В современном языке так называют всю семидневку, но раньше, еще в древнерусскую эпоху, «неделей» именовали только один день — воскресенье, то есть день, когда «не делают», не работают. Отсюда и главная версия: прозвище Недилько давали младенцу, родившемуся в воскресенье. Такая модель типична для украинских фамилий: к основе, обозначающей день рождения, добавляли уменьшительный суффикс -ко, который в украинской традиции часто закреплялся за старшим сыном или просто становился фамильной формой.

Суффикс -ко здесь не случаен. В украинской ономастике он один из самых продуктивных: он образовывал и прозвища, и патронимы, и фамилии без дополнительного оформления. Поэтому Недилько могло быть и прозвищем, и отчеством: сына человека по прозвищу Недиля или Недилько тоже звали бы Недилько. Фамилия так и осталась в форме исходного прозвища, без типичного для русского севера окончания -ов или -ин.

Менее вероятная, но тоже возможная версия связывает фамилию со словом «недело» — то есть пустое, праздное занятие. В этом случае прозвище Недилько мог получить человек, который, по мнению окружающих, занимался ерундой, лентяй или, наоборот, неловкий работник, у которого все валилось из рук. Однако эта гипотеза слабее: суффикс -ко в сочетании с корнем «недел-» чаще указывает на ласкательное именование, а не на насмешку. К тому же родиться в воскресенье — событие конкретное и обыденное, такие прозвища давали легко и охотно.

Есть и третий, совсем редкий вариант: имя Недилько могло быть формой календарного имени Нестор или Никодим, но доказательств этому нет, и лингвисты такое сближение обычно не рассматривают всерьез. Фамилия встречается преимущественно на западе Украины, в тех областях, где диалектное «неділя» в значении «воскресенье» сохранялось дольше всего. В русских документах фамилию записывали на слух, отсюда возможные варианты написания: Недилько, Неделько, Недилко. Все они — одна фамилия с одним корнем.

Если ваши предки носили фамилию Недилько, скорее всего, первый носитель появился на свет в воскресный день, и это событие оказалось заметным настолько, что закрепилось за ним на всю жизнь, а потом перешло и к потомкам.