Фамилия Немытиков — это не про мыло и баню, а про характер. Вопреки бытовой догадке, предок вовсе не обязательно был грязнулей. Основа здесь — древнерусское неличное прозвище Немытик, а оно, в свою очередь, восходит к глаголу «мыти» (бить, сечь). В старину «мыть» означало не только отмывать, но и колотить, наказывать, давать взбучку. Отсюда «немытый» — небитый, не наказанный, то есть вольный, своевольный, не знающий над собой крепкой руки. Так могли прозвать человека независимого, непокорного, того, кого не сломили ни розги, ни барская воля.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: прозвище Немытик (человек с таким качеством) плюс притяжательный суффикс -ов, дающий ответ на вопрос «чей сын?» — сын Немытика. Фамилия держится в кругу патронимических, то есть указывает на прямого предка-мужчину по прозвищу, а не на занятие. Вариант с суффиксом -ик в основе встречается реже, чем, скажем, Немытов, что делает Немытиковых более локальной и менее массовой ветвью.

Ударение в фамилии плавающее: в быту чаще говорят Немы́тиков, но словари фиксируют и вариант Немытико́в. Географически фамилия тяготеет к южнорусским и поволжским областям, встречается в старых переписях Курской, Тамбовской и Саратовской губерний. В документах XVII–XVIII веков можно найти крестьян и однодворцев с этой фамилией — то есть сословие было невысокое, податное, но среди них попадались люди с «крепким» прозвищем.

Встречается и другая, менее убедительная версия: от слова «немытый» в прямом смысле — нечистоплотный. Но в русской ономастике прозвища по физической неопрятности обычно образовывались иначе (Грязнов, Замараев, Чумазый). Форма «Немытик» с уменьшительным суффиксам -ик чаще указывает на прозвище-характеристику, а не на бытовой недостаток. Так что версия «небитого» человека выглядит исторически весомее и интереснее.