Фамилия Одаев — редкий случай, когда основа слова почти наверняка не славянская, а тюркская или кавказская. В русском ономастиконе фамилии с таким окончанием обычно образуются от личных имён или прозвищ, оканчивающихся на -ай, -ой, -ей, и здесь мы сталкиваемся с основой «Одай» или «Ода».

Скорее всего, в основе лежит тюркское мужское имя Одай. В тюркских языках «ода» означает «комната», «шатёр», «палата», а также «род», «племя». Имя Одай могло быть прозвищем для старшего в роду, хранителя очага или для того, кто отвечал за размещение гостей. В осетинском языке, например, слово «уад» (oda) имеет значение «ветер», но это менее вероятно для образования фамилии.

Суффикс -ев указывает на русскую модель образования: «чей?» — Одаев, то есть потомок Одая. Фамилия могла появиться у тюркских народов (кумыков, ногайцев, татар) или у осетин, которые в XIX веке массово получали русские фамилии с суффиксами -ов/-ев. В этом случае Одаевы — это русифицированная форма, а в оригинале фамилия могла звучать как Одайты (у осетин) или Одайлар (у тюрков).

Географически фамилия встречается в Дагестане, Чечне, Ингушетии, а также среди осетин. Встречается она и у русских, но это, скорее всего, результат ассимиляции: предки могли быть крещёными горцами или выходцами с Кавказа, которые обрусели.

Однокоренных фамилий немного: Одаевский, Одайкин. Встречается вариант с ударением на первый слог — Одаев, но в русском языке ударение чаще падает на второй: Одаев.

Если ваши предки — Одаевы с Кавказа, с высокой вероятностью они принадлежали к одному из горских народов, а фамилия хранит память о родоначальнике по имени Одай. Если же фамилия русская — возможно, это результат искажения более древнего прозвища, но эта версия менее подкреплена данными.