Фамилия Онимко — редкий случай, когда географический акцент почти наверняка перевешивает все прочие версии. С высокой долей вероятности, это украинская или южнорусская фамилия, образованная по модели, характерной для восточнославянских фамилий на -ко. Суффикс -ко в украинском языке выполняет ту же роль, что и русские -ов/-ев: он превращает прозвище или имя в фамилию, указывая на потомка или принадлежность. Примеры: Шевченко, Коваленко, Тимошенко.

Основа «Оним» — вот главная загадка. Самый прямой и правдоподобный путь: от канонического имени Онисим (в просторечии Анисим, Онисим). В украинской традиции имя могло редуцироваться до формы Оним, от которой и пошло прозвище Онимко — буквально «маленький Онисим» или «сын Онисима». Имя Онисим греческого происхождения (Onesimos — «полезный»), в святцах оно было распространено, так что антропонимический след здесь самый прямой.

Менее вероятная, но допустимая версия — от прозвища, связанного с диалектным словом. В некоторых говорах «оним» или «онить» могло означать что-то вроде «обмануть», «провести» (ср. «объегорить»). Тогда Онимко — сын хитрого или плутоватого человека. Но эта гипотеза слабее: она не подкреплена широкой диалектной фиксацией, а имя Онисим — очевидный и частотный источник.

Фамилия встречается в основном в левобережной Украине (Черниговская, Полтавская области) и в прилегающих регионах России (Курская, Белгородская области). Это согласуется с ареалом фамилий на -ко, которые массово фиксировались в реестрах казаков и крестьян с XVII века. Социальный состав носителей, скорее всего, был смешанным: от казацкой старшины до крепостных, но без выраженного дворянского следа — фамилия не попала в гербовники, что типично для прозвищных образований на -ко.

В написании возможны варианты: Онименко, Анименко, но форма Онимко — более короткая и архаичная, она могла закрепиться в устной традиции раньше, чем её «удлинили» суффиксом -енко. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите его корни в казацких реестрах или метрических книгах Черниговщины — там шанс найти документальное подтверждение версии с именем Онисим наиболее высок.