Фамилия Осаев — одна из тех, где при внешней прозрачности есть несколько тропинок к происхождению, и выбор между ними зависит от того, в какой среде она возникла. Разберёмся по порядку.

Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ев, а не -ов. В русских фамилиях -ев пишется после мягких согласных, шипящих и ц. В нашем случае — после гласной. Это значит, что в основе лежит имя или прозвище, оканчивающееся на -ай, -ей или -ой: например, Осай, Осей или Осой. Такие окончания типичны для тюркских и кавказских имён, где -ай — уменьшительно-ласкательный суффикс (сравните: Кудай, Алтай). Поэтому самая вероятная версия — фамилия Осаев происходит от имени Осай, которое могло быть прозвищной формой арабского имени Хусаин (уменьшительное от Хасан, «красивый»). В тюркской среде Хусаин часто переходил в Усаин, Усай, а затем и в Осай. Такой путь типичен для народов Северного Кавказа, особенно осетин, чеченцев и ингушей, где фамилии с суффиксом -ев широко распространены.

Вторая версия, более редкая, но тоже возможная: от имени Оса — краткой формы православного имени Осия (древнееврейское «спасение»). Осия — библейское имя, в святцах встречается, но в крестьянской среде могло сокращаться до Оса, а затем получать патронимический суффикс -ев. Однако эта гипотеза менее убедительна: фамилии на -ев от имён на -а (Оса) в русской традиции дают форму Осин (как Фома — Фомин, Кузьма — Кузьмин). Осаев же указывает на основу, оканчивающуюся на согласный или й. Значит, исходное имя — Осай или Осой.

Третья, почти фольклорная версия — от прозвища Осай, которое в южнорусских говорах могло быть связано со словом «оса» (насекомое). Но такое прозвище давали бы скорее за характер: назойливый, злой, «жалящий». Однако в фамилиях на -ев от прозвищ с основой на -а обычно образуются формы вроде Осин, а не Осаев. Поэтому эту версию стоит считать маловероятной.

География фамилии Осаев подтверждает первую версию. Фамилия встречается преимущественно на Северном Кавказе: в Ингушетии, Чечне, Северной Осетии, а также в среде кавказских народов, переселившихся в центральные регионы России. В осетинском языке, например, фамилия Осаев (Æсаты) — одна из распространённых, и её связывают с именем Æса (Аса), которое, в свою очередь, восходит к тому же арабскому корню. В русских же областях фамилия редка и, скорее всего, занесена мигрантами.

Таким образом, Осаев — фамилия, скорее всего, кавказского происхождения, образованная от имени Осай (вариация имени Хусаин). Её носители — потомки людей, которых когда-то назвали «красивыми» или «хорошими» (таково значение имени Хусаин). Суффикс -ев указывает на принадлежность: «сын Осая». Если ваши предки родом с Кавказа, то фамилия, вероятно, имеет именно эту историю. Если же из центральной России — стоит проверить местные архивы на предмет переселенцев или редкого прозвища.