Фамилия Осаева — женская форма фамилии Осаев, и её разбор стоит начать с мужского варианта. Основа здесь — прозвище или имя Осой. В русской ономастике суффикс -ев (вариант -ов после мягких и шипящих согласных) указывает на принадлежность: Осаев буквально означает «сын Осая» или «из рода Осая».

Самое прямое объяснение корня — название насекомого «оса». Прозвище Осой могли дать человеку за характер: худой и поджарый, как оса, или, наоборот, за язвительность, колкость, умение «ужалить» словом. Такие прозвища от названий животных и насекомых были распространены в русской деревне: встречаются фамилии Волков, Зайцев, Соколов, но и Осаев — из того же ряда, хоть и заметно реже.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «оса» — это не только насекомое, но и диалектное название точильного камня (оселок). В этом случае прозвище Осой могли дать точильщику или мастеру, работавшему с камнем. Филологи отмечают, что такой переход значения редок, но не исключён: прозвища по ремеслу нередко давались через орудие труда.

Географически фамилия Осаев встречается в разных регионах России, но заметна концентрация на Северном Кавказе и в Поволжье. Это может говорить о том, что фамилия могла возникнуть независимо в нескольких местах, либо о миграции носителей. В осетинской и чеченской среде фамилия Осаева тоже фиксируется, но там она, скорее всего, образована от личного имени Оса (возможно, тюркского или кавказского происхождения), а не от насекомого.

Таким образом, перед нами типичная патронимическая фамилия (от прозвища отца), которая несёт отпечаток либо внешности и характера предка, либо его профессии. Точное значение можно установить только по семейной истории, но в обоих случаях корень — живой и образный, без книжного налёта.