Фамилия Папакины — форма множественного числа от фамилии Папаков, и разговор о ней стоит начать с разбора мужского варианта, который лег в ее основу. Фамилия Папаков относится к распространенному типу русских фамилий, образованных от имени собственного. В основе лежит имя Папак, которое восходит к старинным каноническим именам Папа или Папий. Оба имени имеют греческие корни и восходят к слову pappas — «отец». В словаре личных имен, составленном Н. А. Петровским, указан ряд производных форм, образованных от этих имен: Папаня, Папка, Пана, Пака, Паша. Это показывает, что имя было живым и употребительным, давало множество обиходных вариантов, а фамилия Папаков закрепила одну из таких форм.

Однако существует и другая, не менее вероятная версия происхождения. Именование Пап могло быть не церковным именем, а прозвищем, которое давали католику. На Руси приверженцев Римской католической церкви называли папистами, поскольку ее главой считается Папа Римский. В этом случае прозвище Пап указывало на вероисповедание предка или его особое отношение к католической традиции. Есть и третья, более редкая трактовка: такое прозвище мог получить меценат или попечитель сирот, то есть человек, который по-отечески заботился о чужих людях. В этом значении прозвище носило бы не ироничный, а уважительный оттенок.

Следы этих имен и прозвищ встречаются в исторических документах. С. Б. Веселовский в своих трудах по ономастике записал Федора Семеновича Папу Вислоухова-Сабурова, жившего в первой половине XVI века, а также Якова Папина, посадского человека, упомянутого в 1623 году. Эти записи подтверждают, что имена Папа и Папий, а также их производные формы, бытовали на Руси уже в XVI–XVII веках, а значит, фамилия Папаков могла возникнуть именно в этот период.

Суффикс -ов в фамилии указывает на притяжательное значение: Папаков — это сын Папака, потомок человека с таким именем или прозвищем. Точное место и время возникновения фамилии сейчас назвать сложно, поскольку процесс формирования русских фамилий был длительным и проходил в разных регионах неодновременно. Тем не менее, фамилия Папаков — и ее форма Папакины — представляет собой живой памятник славянской письменности и культуры, сохранивший память о древнем имени, которое почти исчезло из современного именослова.