Фамилия Папакой — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, а корень отсылает к греческому языку. Основа «папа» в греческой традиции — это не «отец» в прямом смысле, а почтительное обращение к священнику или монаху, аналог русского «батюшка». Формант «-кой» в русских фамилиях встречается нечасто и обычно указывает на украинское или южнорусское происхождение: это трансформированный суффикс прилагательного, который в украинском языке звучал как «-кий», а в русском мог закрепиться в виде «-кой» (ср. Толстой, Боровой, Папакой).

Скорее всего, фамилия образована от прозвища Папака, которое давали человеку, служившему в церкви, или тому, кто внешне или по поведению напоминал священника — например, носил длинные волосы или бороду, ходил в чёрной одежде. В греческих диалектах слово «папас» (πάπας) означало и «священник», и «епископ», а в просторечии могло относиться к любому уважаемому старшему мужчине. На русской почве это прозвище могло возникнуть в среде греческих переселенцев, которые жили в Приазовье, Крыму или на юге Украины, и со временем обрусело, приняв славянский суффикс.

Другой, менее вероятный, вариант — связь с тюркским словом «папак» (шапка, папаха). Тогда прозвище получил бы человек, который носил характерный головной убор или торговал шапками. Но это предположение слабее, поскольку суффикс «-ой» для тюркских основ нетипичен, а в греческой среде он встречается чаще.

Географически фамилия Папакой привязана к югу России и Украины, особенно к территориям бывших греческих колоний — Мариуполь, Таганрог, Ростов-на-Дону. Встречается она и у потомков греков, переселившихся в Причерноморье в XVIII–XIX веках. Сословной привязки нет: носителями могли быть как сельские священники, так и крестьяне, получившие прозвище от односельчан.

Поскольку фамилия не входит в массовые справочники, точных данных о её частотности и известных носителях нет. Но сам корень и редкий суффикс делают её хорошим маркером греческого следа в русской ономастике.