Фамилия Парфенькин образована от имени Парфений, которое в просторечии приобрело форму Парфенька. Парфений — это русская версия греческого имени Партениос, означающего «девственный», «чистый» (от слова «партенос» — дева). В святцах это имя связано с несколькими раннехристианскими святыми, самым известным из которых был святитель Парфений, епископ Лампсакийский, живший в IV веке. Однако до XVIII века имя Парфений было в основном монашеским, а в народе чаще бытовала его производная форма — Парфён, от которой и пошли фамилии Парфёнов и Парфеньев.

Парфенькин стоит в этом ряду особняком. Суффикс -кин указывает на модель образования от имени с окончанием на -ка: Парфенька, то есть уменьшительно-ласкательная форма от Парфений. Такие фамилии на -кин (вроде Федькин, Васькин, Сенькин) в XVI–XVII веках были распространены в северных и центральных губерниях России, особенно среди крестьян и посадских людей. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто носили дворяне и служилые люди, -кин закрепился за непривилегированными сословиями. Поэтому носитель фамилии Парфенькин, скорее всего, потомок крестьянина или ремесленника, которого в документах записывали по отцу — Парфенька.

Интересно, что в некоторых говорах имя Парфений могло звучать как Парфентий, и тогда уменьшительная форма могла быть Парфентя или Парфеня, что давало бы фамилию Парфентьев. Но Парфенькин чётко привязана к форме на -ка, что подтверждается и данными переписей XIX века: фамилия встречается в основном в Вятской, Костромской и Пермской губерниях — как раз в тех регионах, где была сильна традиция «окающего» говора и где имя Парфений было особенно популярно среди староверов.

По написанию фамилия устойчива: вариант Парфёнкин с буквой «ё» встречается реже и обычно отражает местное произношение, а не официальную запись. В метрических книгах и ревизских сказках XVIII–XIX веков чаще фиксировали именно Парфенькин, без «ё». Таким образом, этимология прозрачна: это патроним от народной формы крестильного имени Парфений.