Фамилия Парна — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она не вписывается в типичные для русских фамилий модели на -ов, -ин или -ский, что сразу указывает либо на нерусские корни, либо на искусственное, книжное или позднее образование.

Самый вероятный путь — географический. В Италии есть город Парма, и фамилия Парна могла возникнуть как упрощённый, народный вариант от названия этого города. Выходцы из итальянских земель, осевшие в России (особенно в XVIII–XIX веках среди архитекторов, музыкантов, ремесленников), могли получить фамилию по месту происхождения, а русское ухо и письмо со временем отбросили конечное «-ма» или заменили его на более привычное «-на». Сравните с фамилией Парма, которая тоже встречается, но реже.

Вторая версия, менее распространённая, но лингвистически возможная, — связь с древнееврейским словом «парнаса» (средства к существованию, заработок). В этом случае фамилия могла быть искусственной, образованной в среде ашкеназских евреев в XIX веке при присвоении фамилий в Российской империи. Однако такая модель нехарактерна: обычно брали слово «Парнас» (по названию горы или в переносном смысле), а не «Парна».

Третья гипотеза — прозвищная, но слабая. В южнорусских говорах «парна» могло быть диалектным вариантом слова «парной» (свежий, тёплый, только что приготовленный). Но устойчивых прозвищ с таким корнем в исторических документах не зафиксировано, и это скорее домысел.

Словообразовательно фамилия стоит особняком: окончание -а в именительном падеже мужского рода для русских фамилий нетипично. Это либо застывшая форма родительного падежа (из «сын Парны»), либо указание на нерусское происхождение основы. Встречаемость фамилии крайне низкая, в основном на юге России и в Москве, что косвенно подтверждает версию о приезжих специалистах.

Таким образом, если ваш предок носил фамилию Парна, с высокой вероятностью он был либо выходцем из итальянских земель (мастер, художник, архитектор), либо, что реже, носителем искусственной фамилии, данной по библейскому или ивритскому корню. Точнее сказать без генеалогического поиска по конкретной семье сложно.