Фамилия Паскошева — редкий случай, когда географический и языковой анализ даёт более точный ответ, чем попытка разобрать корень по стандартной русской схеме. Сразу скажем: перед нами не исконно русская фамилия, а результат адаптации фамилии украинской или польской. Основа здесь — Паско, уменьшительная форма от имени Павел (через украинское Павло). Суффикс -ош- в русском языке нехарактерен для образования фамилий, зато типичен для западнославянских и украинских говоров: Пашко, Паско, Пасько — всё варианты одного корня. Фамилия Паскошева — это женская форма, мужская будет Паскошев.

Если смотреть на карту распространения, фамилия Паскошев встречается почти исключительно на юге России, в Ростовской области, Краснодарском крае и на востоке Украины. Это зона, куда в XVIII-XIX веках активно переселялись казаки и крестьяне с Правобережной Украины. Поэтому предок носителя фамилии почти наверняка был выходцем из украинских земель, где фамилии на -ко, -енко и -ук — обычное дело. Русская адаптация добавила суффикс -ев, превратив украинское Паско в Паскошев.

Сложность в том, что слово «паска» в украинском диалекте означает «пасха» или «кулич», а «паскош» — нечто связанное с пасхальным обрядом. Но более вероятна всё же антропонимическая версия: от имени Павел. В пользу этого говорит и частое прозвище Паско в документах XVII века, которое фиксируется у запорожских казаков. Имя Павел было распространённым, а его уменьшительные формы дали целый куст фамилий: Павлов, Пашков, Пасько. Паскошев — один из менее очевидных, но вполне закономерных вариантов.

Социальный статус предков, скорее всего, был крестьянским или казачьим. Фамилия не дворянская — её нет в родословных книгах, и не купеческая. Судя по географии, носители фамилии были либо государственными крестьянами, либо казаками низовых станиц. Если ваш предок носил фамилию Паскошев, ищите его в метрических книгах Области Войска Донского или Екатеринославской губернии — там шанс найти запись выше всего.