Фамилия Перевертай — редкий пример, когда в основе лежит не существительное или прилагательное, а глагол в повелительном наклонении. Такие фамилии (их называют «императивными») в русском языке встречаются нечасто и обычно указывают на прозвище, данное человеку по действию или команде.

Разбираем словообразование. Корень — «переверт-» от глагола «перевертеть» или «перевернуть». Суффикс -ай — формант повелительного наклонения (как в словах «бросай», «читай»). Получается прямая команда: «Перевертай!». В русских говорах глагол мог означать не только физическое переворачивание, но и переносный смысл — «переворачивать всё вверх дном», «менять порядок», «крутить-вертеть». Прозвище Перевертай могли дать непоседе, вертлявому человеку или, наоборот, тому, кто любил всё перестраивать и переделывать.

Сам тип фамилии — украинский или южнорусский. Модель «глагол в повелительном наклонении + нулевое окончание» (Перевертай, Гуляй, Непейпиво) характерна для украинской ономастики XVII–XVIII веков. В России такие фамилии встречаются реже и часто фиксируются именно на территориях, граничащих с Украиной, — в Курской, Воронежской, Ростовской областях. Фамилия Перевертай, скорее всего, возникла в среде казачества или крестьянства, где прозвища такого типа были распространены.

В официальных документах фамилия могла закрепиться без изменений, так как прозвище уже звучало как готовое слово. Интересно, что у неё нет типичных русских суффиксов -ов или -ин, что делает её легко узнаваемой и указывает на прямое происхождение от личного прозвища, а не от имени отца.

Встречается ли фамилия за пределами России? Да, единичные носители есть в Беларуси и Казахстане, но это, скорее всего, следы переселений XX века. В целом Перевертай — фамилия штучная, и её редкость объясняется специфической словообразовательной моделью: повелительное наклонение в качестве фамилии сохранилось далеко не в каждом регионе.