Фамилия Поберезская — яркий пример того, как географическое прозвище превратилось в родовое имя. Её основа — топоним, название населённого пункта, скорее всего, деревни или села с корнем «-берез-». Приставка «по-» в славянских названиях часто указывает на расположение у чего-либо: «по берегу», «у берёз». Таким образом, Поберезье или Поберезка — это место, расположенное вдоль берёзовой рощи или у реки с берёзовыми берегами. Согласно модели образования, фамилия принадлежит к «географическому» типу на -ский/-цкий, который в XVI–XIX веках был особенно распространён среди польской шляхты, украинской старшины и русского духовенства. Однако носителем такой фамилии мог быть и простой крестьянин, которого переселили в другую местность и записали по названию покинутой деревни.

Стоит обратить внимание на окончание -ая. В русском языке фамилии на -ский/-цкая исторически склонялись как прилагательные. Форма Поберезская (женский род) прямо указывает на то, что исходная мужская фамилия — Поберезский. Такая пара характерна для регионов, где фамилии закреплялись в полной, а не усечённой форме (сравните: Поберезский и Поберезский-Поберезская). В украинской и белорусской традиции чаще встречается вариант без окончания -ая — просто Поберезская может писаться как Поберезька, но в русском документообороте закрепилась именно полная форма.

Корень фамилии прозрачен, но в ней нет уменьшительных или уничижительных суффиксов. Это значит, что прозвище давали не по внешности или характеру человека, а по месту его рождения или проживания. Человек, которого звали Поберезским, скорее всего, был выходцем из села Поберезье (такие названия встречаются в Беларуси, на западе России и в Польше). Например, в исторических источниках упоминается деревня Поберезье в бывшем Виленском воеводстве — оттуда и могли пойти первые носители фамилии.

С точки зрения словообразования, фамилия Поберезская — типичный ойконимический дериват (от названия места). Она не несёт информации о роде занятий предка, но зато точно говорит о его малой родине. Если ваши предки носили эту фамилию, имеет смысл искать корни в западных губерниях Российской империи или на территории современной Беларуси. В отличие, скажем, от фамилии Березовский (от «берёза»), Поберезский подчёркивает именно привязку к конкретному топониму, а не к дереву как таковому.