Фамилия Подинская — это женская форма от Подинский, а та, скорее всего, образована от географического названия. Основа «Под-» с суффиксом «-инск-» типична для фамилий, указывающих на происхождение из определённого места. В русской ономастике суффикс «-ский» (и его варианты) часто закреплялся за дворянскими или священническими родами, но не обязательно: так могли называть любого человека, который переехал из села или деревни с похожим именем.

Ищем корень «Под-». Это может быть река Под (приток Вятки) или населённые пункты с названием Подин, Подино, Подинское. Такие топонимы встречаются в центральной России и на севере, например, в Вологодской или Архангельской областях. Тогда Подинский — это «тот, кто родом из Подина». Есть и другая, менее вероятная версия: от прозвища «Подин» — человека, жившего «под лесом», «под горой» или «под иным» (в значении «под другим»). Но суффикс «-инск-» сильнее указывает на топоним, чем на прозвище.

Интересная деталь: фамилия редкая, и её написание с «и» после «д» (Подинская, а не Падинская) говорит о том, что ударение, скорее всего, падает на второй слог — ПодИ́нская. Это нехарактерно для многих фамилий на «-инский», где ударение часто переходит на суффикс. Такая акцентология может быть связана с местным говором или названием конкретной деревни.

В сословном плане носители фамилии Подинский могли быть из духовенства (семинарские фамилии нередко образовывали от названий сёл) или из крестьян, переселившихся в город и получивших фамилию по месту выхода. Дворянских родов с такой фамилией в дореволюционных родословных книгах не зафиксировано.

Коротко: предки Подинских, скорее всего, жили в деревне или селе, в названии которого был корень «Под-», а сама фамилия закрепилась за ними после переселения.