Фамилия Подкур образована от прозвища, а не от имени или профессии в прямом смысле. Основа прозвища — глагол «подкуривать», то есть «окурить, пускать дым подо что». Такое прозвище чаще всего давали пчеловоду, который окуривал ульи дымом, чтобы успокоить пчёл перед осмотром или сбором мёда. Это занятие было настолько характерным для пасечника, что само действие стало его отличительным признаком в глазах соседей.

Существует и вторая, менее распространённая версия. В некоторых говорах словом «подкур» называли полати или помост, устроенный на вольном воздухе, под которым разводили дымокур — курево от мух, мошек и комаров. На таком помосте можно было работать или отдыхать летом, спасаясь от гнуса. Если принять эту версию, то прозвище Подкур могло закрепиться за человеком, который любил устраивать такие сооружения или часто отдыхал на них. Однако версия с пчеловодом выглядит правдоподобнее: она проще и опирается на живой, широко известный обычай, тогда как «подкур» в значении помоста — слово редкое и узко диалектное.

Сама фамилия построена по простой и древней модели: прозвище без дополнительного суффикса перешло в фамилию в чистом виде. Такое случалось, когда прозвище было коротким и звучным, а его носитель — достаточно заметным человеком. В отличие от более поздних фамилий на -ов и -ин, форма Подкур сохранила исходный вид и не склоняется как притяжательное прилагательное. Это указывает на то, что фамилия закрепилась довольно рано, ещё до того, как в русском языке окончательно утвердилась стандартная модель образования фамилий из отчеств.

В документах фамилия встречается редко, что неудивительно: основа прозвища связана с конкретным ремеслом, а не с именем или географическим названием. Носители фамилии Подкур, скорее всего, происходят из семей, где предки занимались пчеловодством или жили в местности, где это занятие было распространено. Сравните с однокоренными фамилиями Подкуров, Подкурный, Курилов — все они так или иначе отсылают к дыму, куреву или действию с огнём, но Подкур стоит особняком, потому что не получил суффиксального оформления и сохранил первоначальную краткость.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать следы в южных и центральных регионах России, где пасечное дело было развито издавна. Точных данных о сословной принадлежности нет, но по модели образования можно предположить, что это фамилия крестьянская или посадская, а не дворянская. В любом случае, за ней стоит не абстрактное слово, а живая картина: человек с дымокуром у улья или на лесной поляне, чьё занятие стало его именем на всю жизнь.