Фамилия Погодинский — редкий случай, когда корень слова не отсылает к занятию или черте характера, а хранит в себе глагол, который почти исчез из живого языка. Основа здесь — «погода», но не в современном значении «состояние атмосферы», а в древнерусском: «пора», «время», «срок». Отсюда глагол «погодить» — подождать, повременить. Человек, которого прозвали Погода или Погодин, мог быть медлительным, неторопливым, либо, наоборот, тем, кто любил говорить «погоди» — одергивал других. Прозвище Погода фиксируется в документах XVI–XVII веков, и от него пошли фамилии Погодин, Погодкин, Погодков.

Фамилия Погодинский — вторичная по отношению к Погодин. Она образована с помощью типичного суффикса принадлежности -ск-, который в русской ономастике чаще всего указывает на связь с местом или владельцем. Однако в данном случае модель иная: это «фамилия от фамилии». Такое бывало, когда крестьяне или мещане брали себе фамилию по барину или известному человеку, у которого служили. Например, крепостные академика Михаила Погодина, знаменитого историка XIX века, могли получить фамилию Погодинские — как указание на принадлежность к его владениям или усадьбе. Версия спорная, но правдоподобная: Погодин был крупным землевладельцем, и его имя могло стать основой для целого гнезда фамилий.

Словообразовательный разбор показывает, что Погодинский стоит в ряду таких фамилий, как Голицынский (от Голицын), Оболенский (от Оболенск), но с той разницей, что топоним здесь не географический, а личный. Суффикс -ин- в основе «Погодин» — притяжательный: «чей?» — Погодин, то есть сын или потомок Погоды. А уже к этому патрониму добавили -ск-ий, что для XIX века было признаком «благородного» звучания: фамилии на -ский часто ассоциировались с дворянством, хотя реально их носили и семинаристы, и крестьяне.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных базах данных Погодинские единичны, и почти все они сосредоточены в центральной России, особенно в Московской и Тверской областях — там, где располагались имения Погодина (село Синьково, усадьба в селе Покровском). География подтверждает версию о происхождении от конкретного помещика. Если ваш предок носил эту фамилию, с большой вероятностью он жил на землях, принадлежавших историку или его родственникам.

Есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть в семинарской среде. Семинаристам нередко давали фамилии по названиям церковных праздников или по красивым, «учёным» корням. Погодинский могло быть искусственным переосмыслением всё того же корня «погода» в значении «благовременье» — как символ терпения и смирения. Но эта гипотеза слабее: типичные семинарские фамилии — Богоявленский, Успенский, Рождественский — строились по другой модели, с основой от храма или праздника, а не от глагола.