Фамилия Полагаев — яркий пример того, как русская фамилия может хранить в себе память о занятии или поведении предка. В её основе лежит глагол «полагать» в одном из его старых, бытовых значений. Чаще всего такую фамилию давали человеку, который «полагал» — то есть клал, укладывал, складывал что-то. Речь могла идти о скирдовальщике сена, каменщике, плотнике или любом другом работнике, чей труд был связан с укладкой. Прозвище Полагай (от которого через суффикс -ев и образована фамилия) легко прилипало к человеку, который, например, был «полагателем» — укладчиком дров, снопов или кирпича.

Модель образования здесь простейшая и самая массовая: отчество от прозвища или мирского имени. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «Полагаев» буквально значило «сын Полагая». Такие фамилии в XVI–XVII веках получали крестьяне и посадские люди, и география их бытования охватывает в основном центральные и южные губернии России — там, где было развито земледелие и промыслы, требовавшие укладки.

Есть и менее очевидная, но возможная версия. В некоторых говорах «полагать» означало не только класть, но и «полагаться, надеяться». Тогда прозвище Полагай мог получить человек доверчивый или тот, кто постоянно на кого-то полагался. Однако эта трактовка встречается реже: прозвища по действию (сделал — назвали) всегда были распространённее, чем прозвища по черте характера, образованные от того же глагола.

Интересно, что фамилия Полагаев не имеет «дворянского» суффикса -ский и не связана с географическим названием. Это типичная «профессиональная» фамилия низших сословий, что подтверждается её отсутствием в родословных книгах. Она стоит в одном ряду с такими фамилиями, как Ковалёв, Плотников или Столяров, но её корень менее прозрачен для современного уха. Если искать однокоренные аналоги, то можно вспомнить фамилию Положенцев (от «положенец» — лицо, находящееся на положении кого-либо), но Полагаев — про конкретное физическое действие, а не про социальный статус.