Фамилия Полывьяный — редкий случай, когда географический акцент почти наверняка перевешивает все остальные версии. Это украинская фамилия, и её ключ — не в корне «пол», а в слове «полывьяный» (украинское «полыв'яний»), что означает «поливной», то есть покрытый глазурью. Речь идёт о гончарном деле: поливная керамика — это посуда или изразцы, покрытые стекловидной глазурью (поливой). Предок носителя фамилии был гончаром, который специализировался именно на глазуровании, или же его прозвали так по характерному признаку работы.

Суффикс -ый (в украинском варианте -ий) указывает на притяжательное или качественное значение: «относящийся к поливе», «связанный с поливой». В русском языке такая фамилия звучала бы как Полывяный или Поливяный, но украинская огласовка «ы» и мягкий знак сохранили исходное произношение. Фамилия образована по продуктивной для украинских прозвищ модели: основа существительного + суффикс прилагательного.

Встречается фамилия преимущественно в центральных и восточных областях Украины (Полтавщина, Черкащина, Днепропетровщина) — в регионах, где исторически было развито гончарство. В России она редка и чаще всего фиксируется у потомков переселенцев с Украины. Написание с твёрдым знаком («Полывьяный») — результат адаптации к русской орфографии, где мягкий знак после согласного перед «я» обозначает мягкость предшествующего звука, что нехарактерно для украинского произношения (там звук твёрдый).

С точки зрения словообразования, фамилия стоит в ряду однокоренных украинских фамилий: Поливка, Поливко, Полывка. Но Полывьяный — единственная, которая прямо описывает свойство предмета, а не человека через уменьшительную форму. Это скорее прозвище-характеристика, чем фамилия от имени или топонима. Сословно она не маркирована: гончарство было ремеслом и казаков, и мещан, и крепостных, поэтому предки могли принадлежать к любому свободному или зависимому сословию.

В написании фамилии возможна путаница: в украинских документах она будет выглядеть как Полыв'яний, в русских — Полывьяный или Полывяный (без мягкого знака). Встречается также вариант с одной «л» (Полывяный), но он менее точен, так как украинское слово «полыв'яний» пишется через «и» в корне, а не через «ы».