Фамилия Полывьянова — женская форма фамилии Полывьянов, и её разбор стоит начать с редкого суффикса -ьян-. В русской ономастике это нестандартный элемент, который встречается гораздо реже привычных -ов/-ев или -ин. Чаще всего такие суффиксы появлялись в фамилиях, образованных от прозвищ или имён с иноязычным влиянием — например, из тюркских или финно-угорских языков, где -ян распространено как патронимический показатель (ср. армянские фамилии). Но в русском контексте -ьян- могло возникнуть и как результат диалектного произношения или адаптации чужого слова.

Основа «Полывьян» восходит, скорее всего, к прозвищу Полывьян. Здесь возможны две версии. Первая: от глагола «полывать» — то есть «поливать, орошать». В южных и центральных говорах так могли называть человека, занятого поливным земледелием, либо того, кто работал с водой: поливал огороды, обслуживал мельничную запруду. Вторая, менее очевидная, связь с диалектным словом «полынья» — прорубь, незамерзающее место на реке. Прозвище Полывьян мог получить рыбак, живший у полыньи, или человек, который зимой проваливался под лёд. Суффикс -ьян в этом случае превращал бытовую характеристику в фамильное имя.

С точки зрения географии, фамилия Полывьянова редкая и, по данным современных телефонных справочников и архивных записей, встречается в основном в Поволжье и на Урале — регионах, где смешивались русские, татарские и финно-угорские традиции имяобразования. Это косвенно подтверждает версию о тюркском или диалектном происхождении суффикса.

Социальный контекст: фамилия недворянская, без суффикса -ский, что указывает на крестьянское или мещанское происхождение. Носители фамилии Полывьяновы, вероятно, были вольными землепашцами или ремесленниками, а не служилыми людьми. В документах XVIII–XIX веков такая фамилия могла фиксироваться с разным написанием — Поливьянов, Полывянов — из-за неустойчивости безударных гласных в говорах.

Итог: фамилия Полывьянова образована от прозвища, связанного с водой или поливом, а её редкий суффикс -ьян выдаёт региональное или иноязычное влияние. Это не массовая фамилия, и её носители, скорее всего, происходят из крестьянской среды Поволжья или Приуралья.