Фамилия Потёмимн — редкая и сложная для анализа, в первую очередь из-за своего нестандартного окончания. Большинство русских фамилий образовано суффиксами -ов, -ев, -ин, -ский, но здесь мы видим сочетание, которое больше напоминает искусственное или искажённое написание. Скорее всего, перед нами либо результат поздней канцелярской ошибки (описки в документе, которую закрепили за родом), либо фамилия, образованная от прозвища или имени, но с необычной фиксацией на письме.

Если отбросить окончание -мн (которое не является стандартным русским суффиксом), основа «Потём» может восходить к слову «потёмки» — то есть к темноте, мраку, чему-то неясному. В таком случае прозвище Потёма могли дать человеку угрюмому, скрытному, либо тому, кто жил в глухом, тёмном месте. Возможна и связь с диалектным глаголом «потемнять» — делать тёмным, пачкать, хотя эта версия менее вероятна.

Сравнение с однокоренными фамилиями подсказывает другой путь. Фамилия Потёмкин (от слова «потёмки» или от имени Потап через форму Потёмка) широко известна, и её носители — дворяне, в том числе знаменитый Григорий Потёмкин. Потёмимн могла возникнуть как искажение при записи фамилии Потёмкин в крестьянской или мещанской среде: писарь на слух записал не «Потёмкин», а «Потёмимн», и эта форма закрепилась. Особенно вероятно это в регионах с местными говорами, где путали окончания -ин и -имн.

Третья версия, хоть и спекулятивная, — искусственное происхождение. В XIX веке при выдаче паспортов или при переходе из одного сословия в другое (например, из крепостных в вольные) фамилию могли придумать на месте, взяв за основу слово «потёмки» и добавив необычное окончание для благозвучия или отличия от других.

География фамилии Потёмимн, судя по доступным данным, не прослеживается в крупных ономастических справочниках — это крайне редкая форма, единичные случаи. Сословная принадлежность предков, скорее всего, недворянская: крестьяне или мещане, у которых фамилия сложилась поздно и нестандартно. Единственное, что можно сказать с уверенностью: основа фамилии связана с понятием темноты, а её написание — результат либо ошибки, либо местной особенности произношения.