Фамилия Потриваев редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы разобраться, стоит начать не с корня, а с необычного суффикса. В русских фамилиях суффикс -аев обычно указывает на тюркское или восточное происхождение основы, но в данном случае, скорее всего, мы имеем дело с адаптацией прозвища, образованного от глагола.

Самая правдоподобная версия связывает фамилию с глаголом «потривать» — диалектным вариантом слова «потрагивать», то есть трогать, прикасаться, иногда с оттенком неловкости или назойливости. В северных и сибирских говорах слово «потривать» могло означать «пошаливать», «баловаться». Человек, получивший прозвище Потривай, вероятно, был непоседой, шалуном или тем, кто постоянно что-то трогал руками. Фамилии на -аев (-яев) часто образовывались от глагольных форм в повелительном наклонении: «Потривай» — «потрогай», «пошали».

Менее убедительная, но возможная версия — связь с личным именем Патрикей (Патрикий) через просторечную форму Потрива. Имя Патрикей в народе переосмыслили, и оно породило фамилии Патрикеев, Потрикеев. Однако в случае Потриваева переход от «Патрикей» к «Потривай» требует дополнительных фонетических допущений, поэтому версия с прозвищем от глагола выглядит проще и естественнее.

Географически фамилия Потриваев встречается крайне редко, в основном в центральных и южных областях России. В дореволюционных переписях она не фиксируется как массовая, что говорит о её позднем закреплении или локальном бытовании. Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам, так как фамилии на -аев от прозвищ — типичная модель для простонародья, а не для дворянства, которое чаще использовало суффикс -ов/-ев от полных церковных имён.

Таким образом, фамилия Потриваев — это отчество от прозвища Потривай, данного живому, подвижному или неуклюжему человеку. Она сохранила в себе отголосок народной речи и диалектного глагола, который уже почти вышел из употребления.