Фамилия Потрываев происходит от прозвища Потрывай, которое, в свою очередь, восходит к украинскому глаголу «потривати» — «подождать». В этой форме слышится и прямой призыв, и скрытая угроза: «погоди!», «ну, постой!». Поэтому прозвище могло закрепиться за двумя противоположными типами людей. С одной стороны, за человеком медлительным и осторожным, который привык повременить с решением, прежде чем действовать. С другой — за тем, кто был скор на расправу и не скрывал недовольства, бросая обидчику это самое «потрывай» как вызов.

Прозвища, образованные от повелительного наклонения глагола, — довольно распространенное явление в славянской антропонимии. Они часто носили ироничный или назидательный характер, закрепляя за человеком его манеру поведения или яркую черту характера. В данном случае слово звучит экспрессивно, что делает версию о происхождении от глагола «потривати» наиболее убедительной. Альтернативные объяснения, связывающие основу с другими корнями, выглядят натянуто и не находят подтверждения в диалектной лексике.

Сама фамилия оформлена по стандартной патронимической модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основам на мягкий согласный или й. Это указывает на то, что предок носителя фамилии действительно звался Потрываем, а его потомки стали Потрываевыми. Такая модель была типична для русских фамилий, формировавшихся в среде крестьянства и посадских людей, где прозвища играли роль неофициальных имен.

Точное место и время возникновения фамилии Потрываев установить сложно. Сам процесс становления русских фамилий растянулся на несколько столетий, и прозвищные фамилии могли закрепляться в разных регионах независимо друг от друга. Однако украинская основа прозвища позволяет предположить, что корни семьи могут лежать в юго-западных землях, откуда носители прозвища могли переселиться в великорусские губернии, принеся с собой необычное слово. В переписях и ревизских сказках такая фамилия встречается нечасто, что говорит о ее относительной редкости и сохранении первоначальной формы без искажений.