Фамилия Потрываева образована от прозвища Потрывай, которое восходит к украинскому глаголу «потривати», что значит «подождать». Сама форма «потрывай» может также означать слово-угрозу «погоди!» — то есть не просто просьбу подождать, а обещание разобраться с собеседником позже, когда представится случай.

Так что прозвище Потрывай могло закрепиться за человеком по двум противоположным причинам. С одной стороны, так могли назвать медлительного, нерасторопного или осторожного человека, имевшего склонность повременить с выполнением того или иного дела. С другой — Потрываем могли прозвать человека с буйным нравом, скорого на расправу над обидчиком, имевшего обыкновение не скрывать своё недовольство: его «погоди!» звучало как прямая угроза. Какая из версий верна для конкретного предка, уже не установить, но обе они рисуют живую картину прозвища, которое давали по характеру, а не по роду занятий.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна: прозвище Потрывай, усечённое до основы, послужило базой для притяжательного прилагательного с суффиксом -ев-. В итоге потомок человека, обладающего прозвищем Потрывай, со временем получил фамилию Потрываева. Форма с конечным -а указывает на женскую линию или на то, что фамилия закрепилась в роду через женщину, хотя в современном обиходе она чаще всего используется как вариант мужской фамилии Потрываев.

Интересно, что прозвища-императивы вроде Потрывай, Погоди, Постой — это отдельный пласт восточнославянской антропонимии. Такие имена давали не случайно: в них часто отражалась либо манера поведения человека, либо обстоятельства его появления на свет. Если ребёнок родился поздно или мать долго не могла разродиться, его могли в шутку назвать Потрываем. Так что за фамилией может стоять не только характер, но и семейное предание о том, как предок «заставил себя подождать».

Фамилия несёт явный украинский след: глагол «потривати» и его формы характерны для украинских говоров, тогда как в великорусских землях чаще использовали бы «погодить» или «повременить». Это позволяет предположить, что корни рода Потрываевых — на Украине или в южнорусских областях, граничивших с украинской языковой средой. В письменных источниках фамилия встречается редко, что типично для прозвищных фамилий, которые не были связаны с дворянскими родами, а бытовали в крестьянской и казачьей среде.