Фамилия Позднаяков — редкий случай, когда написание напрямую указывает на возможную ошибку или сознательную переделку. Правильное, исторически сложившееся написание этой фамилии — через «о» после «я»: Поздняков. Форма «Позднаяков» с буквой «а» в суффиксе — это, скорее всего, искажение, возникшее из-за того, что в безударном положении звук «я» слышится как нечто среднее между «я» и «а», и на письме его закрепили ошибочно. Встречаются и варианты вроде Позднеяков, но «Позднаяков» — самый распространённый из нестандартных.

Основа фамилии — прозвище Поздняк. В старину так называли ребёнка, родившегося поздно, то есть у немолодых уже родителей, или последнего, запоздалого в семье. Слово «поздняк» имело и переносный смысл — медлительный человек, который всё делает не вовремя. Фамилия образована по стандартной русской модели: прозвище на -як (Поздняк) плюс притяжательный суффикс -ов, что буквально означает «сын Поздняка» или «из семьи Поздняка».

Интересно, что в некоторых говорах «поздняком» называли и поздний сорт овощей или хлеба, так что прозвище могло относиться к крестьянину, который сеял или убирал урожай позже соседей. Но самая вероятная версия — именно «поздний ребёнок». Фамилия Поздняков (и её искажённая форма Позднаяков) встречается по всей России, но особенно часто — в центральных областях и Поволжье, где были сильны традиции больших патриархальных семей, в которых рождение «позднего» сына было заметным событием.

Если ваша фамилия записана именно как Позднаяков, это не ошибка в паспорте, а историческое написание, которое закрепилось в документах. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках нередко встречается разнобой: одного и того же человека могли записать и как Поздняков, и как Позднаяков. Так что оба варианта имеют право на существование, хотя литературная норма — Поздняков.