Фамилия Позяйкин — редкий случай, когда основа слова почти не встречается в современном языке, но хорошо восстанавливается по диалектам. В её основе лежит глагол «позевать» или «позевывать» — то есть зевать, потягиваться со скуки или усталости. В старых говорах слово «позёва» или «позевка» означало зевок, а также ленивого, сонного человека. Отсюда же прозвище Позёва или Позяйка — так могли назвать медлительного, вечно зевающего работника или, наоборот, того, кто любил подолгу потягиваться после сна.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Позяйкин буквально значит «сын Позяйки» или «человек из рода Позяйкиных». Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин образовывали от прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. Если бы основа кончалась на согласный, мы бы видели суффикс -ов (Позяйков), но форма на -ин закрепилась именно в тех регионах, где прозвище звучало как Позяйка.

Важная деталь: буква «я» в корне не случайна. В некоторых говорах (особенно вятских, пермских, архангельских) глагол «зевать» произносили с «ё» или «я» — «зёвать», «зявать». Со временем приставка по- слилась с корнем, и получилось Позёвка → Позяйка. Поэтому фамилия географически привязана к Русскому Северу и Приуралью — на юге и западе России такой переход звука встречается реже.

Встречаются варианты написания Позёвкин, Позевкин — они образованы от той же основы, но с другим произношением. Позяйкин — самый редкий и архаичный вариант, сохранивший диалектное «я». Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в Вятской, Пермской или Архангельской губернии и занимались крестьянским трудом. Никакого знатного происхождения за фамилией не числится — это чисто прозвищная, деревенская фамилия, которая могла закрепиться в XV–XVII веках, когда прозвища начали переходить в наследственные.