Фамилия Присекарь — редкая, и её значение угадывается почти сразу, если знать украинский или южнорусский диалект. В её основе лежит слово «присекарь» или «присекарь» — так называли человека, который работал при сече, то есть при рубке леса. В лесном деле присекарь — это либо надзиратель за порубкой, либо сам работник, занятый на валке и разделке деревьев. Суффикс -арь (в украинском варианте -ар) указывает на деятеля по профессии: бондарь, гончар, пекарь. Так что Присекарь — это фамилия-профессия, причём довольно локальная.

Географически фамилия привязана к западноукраинским и, шире, юго-западным русским землям. Встречается в Черкасской, Винницкой, Хмельницкой областях Украины, а также в приграничных районах Молдовы и Румынии. В России она редка, но фиксируется на Кубани и в Ростовской области — туда её принесли переселенцы с Украины в XIX—XX веках.

Словообразовательная модель проста: основа «присек-» (от «сечь», «рубить») плюс суффикс -арь. Вариант написания с одной или двумя «с» (Присекарь или Приссекарь) встречается, но первичный вариант — с одной «с», так как приставка «при-» не удваивает корневую согласную. Сравните с фамилией Секарь (от «секарь» — тот, кто сечёт) — Присекарь отличается именно приставкой, указывающей на место или характер работы («при сече»).

В отличие от многих фамилий-профессий, у Присекаря нет параллели с именем собственным или прозвищем. Это чисто ремесленная фамилия, без признаков дворянского происхождения. Носители её, скорее всего, были из числа государственных или помещичьих крестьян, занятых в лесном хозяйстве. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не упоминается — она осталась за рамками академического описания из-за своей редкости и локальности.

Если коротко: Присекарь — это «лесоруб» или «лесничий» на украинский лад. Фамилия не даёт повода для споров — значение прозрачно, а география указывает на конкретный регион и занятие предков.