Фамилия Присивко звучит необычно для русского уха — и это подсказка. Она украинского происхождения, что сразу видно по суффиксу -ко. В украинской ономастике этот суффикс — один из самых распространённых: он образует фамилии от прозвищ, имён и названий профессий (вроде Шевченко, Коваленко, Ткаченко). Но в отличие от патронимических фамилий на -енко («сын такого-то»), фамилии на -ко часто имели уменьшительно-ласкательный или прозвищный оттенок. Присивко — не исключение.

Основа фамилии — присив. Это не литературное слово, а диалектное или просторечное. Скорее всего, оно связано с глаголом «сиветь» или прилагательным «сивый» (серый, седой). В украинских говорах «присив» могло означать что-то вроде «седоватый», «с проседью» или относиться к масти животного (сивый конь, сивый вол). Прозвище Присив могли дать человеку с ранней сединой, с пепельным цветом волос или даже по поведению — «сивый» иногда означало «старый, опытный, бывалый». Суффикс -ко в таком случае придаёт прозвищу оттенок «носитель признака»: Присивко — тот, кого прозвали Присивом, «седой» или «серый».

Есть и вторая, менее вероятная версия: основа могла восходить к слову «присів» (от украинского «присісти» — присесть, приземлиться). Тогда Присивко — прозвище человека, который часто присаживается, или, в переносном смысле, медлительного, основательного. Но эта трактовка слабее: фамилии от глаголов движения с суффиксом -ко встречаются реже, чем от прилагательных и существительных.

Географически фамилия Присивко сосредоточена на востоке Украины и в южных областях России, куда шли переселенцы из украинских губерний. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении прозвища. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках её можно найти в Полтавской, Харьковской и Екатеринославской губерниях — в местах, где украинские фамилии на -ко были нормой.

Интересная деталь: ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Приси́вко. Такой акцент типичен для украинских фамилий с суффиксом -ив-, который мог сохраниться от полной формы прозвища (например, При́сив — Приси́вко). Если бы ударение было на первый слог (При́сивко), фамилия звучала бы как русская адаптация, но в украинской среде она произносится с ударным «и».