Фамилия Приймаков образована от прозвища Приймак. Оно ведет свое начало от украинского глагола «приймати» - «принимать», то есть «получать, брать в свое ведение», «давать приют», «воспринимать, усваивать что-либо». Вероятно, Приймаком прозвали либо гостеприимного хозяина, либо того, кто воспитывал неродного, приемного ребенка, либо умного, толкового, сообразительного человека. Возможно также, что прозвище восходит к украинскому существительному «прийма» - «шесть больших струн в бандуре». В таком случае прозвище Приймак, скорее всего, относится к числу «профессиональных» именований, содержащих указание на род деятельности основателя фамилии: он мог быть мастером по изготовлению музыкальных инструментов либо музыкантом. Так и прозвище Приймак закрепилось за человеком в качестве наиболее употребительного именования, а со временем легло в основу фамилии Приймаков. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Приймак, со временем получил фамилию Приймаков.