Фамилия Пулинский звучит так, будто её обладатель родом из места с названием Пулино или Пулин. И это первая и самая вероятная версия: перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название населённого пункта + суффикс -ский». Такие фамилии в XVIII–XIX веках часто получали дворяне по названию своего поместья, а также духовенство — при поступлении в семинарию. Если существовало село или хутор Пулино (а такие топонимы встречаются, например, в Польше и на западе Украины), то выходец оттуда становился Пулинским.

Однако есть и другая, более прозаичная версия, которая не связана с географией. В основе фамилии может лежать прозвище или мирское имя Пуля. В русских говорах «пуля» — не только снаряд, но и, например, небольшой круглый предмет, а также прозвище быстрого, юркого человека («летит как пуля»). По правилам словообразования, от прозвища Пуля фамилия должна была бы звучать как Пулин (чей? — Пулин сын) или Пулев. Вариант Пулинский получается, если к основе «пул-» добавить уже не родовой суффикс -ин, а «дворянский» -ский. Такое переоформление случалось: крестьянин или мещанин по фамилии Пулин мог при переходе в другое сословие «облагородить» свою фамилию, сделав её Пулинский.

Обратите внимание на суффикс -ский. В русской ономастике это маркер либо польско-шляхетского происхождения, либо семинарской среды. Если ваши предки были из западных губерний Российской империи (Беларусь, Украина, Польша), то фамилия Пулинский почти наверняка указывает на шляхетский род, владевший землёй в местечке Пулин. Если же фамилия встречается в центральной России, скорее всего, её носитель — потомок семинариста, которому дали звучную фамилию по названию родного села, или же выходец из крестьян, сменивший фамилию при переезде в город.

Таким образом, у вас есть два основных пути для поиска: либо искать предков в конкретном населённом пункте с корнем «пул-», либо рассматривать фамилию как искусственное «улучшение» более простой фамилии Пулин. Фамилия редкая, массово не распространена, что делает её носителей, скорее всего, потомками одного или нескольких малочисленных родов.