Фамилия Радеукая — редкая и неочевидная, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание «-ая» в русских фамилиях почти всегда указывает на прилагательное, чаще всего женского рода, образованное по модели «чей?» или «какой?». В данном случае перед нами, скорее всего, не мужская фамилия с окончанием -ой (как Радеукой), а женская форма от мужской — это характерно для украинских, белорусских или южнорусских фамилий, где в быту сохранялась форма прилагательного в зависимости от пола носителя. Однако если носитель — женщина, то мужская форма должна быть Радеукий, Радеукой или Радеуков.

Самая вероятная основа — «Радеук» или «Радеука», что отсылает нас к географическому названию. В Подолье и на западе Украины есть несколько сёл с похожими названиями, например Радеуцы (Радівці). Окончание «-укий» или «-укая» могло возникнуть как адаптация топонима Радеуцы или Радеуки, где -уц- перешло в -ук- под влиянием местных говоров. Человек, переселившийся из села Радеуцы, мог получить прозвище Радеукий (то есть «радеуцкий»), а со временем фамилия закрепилась в форме Радеукая для женщин.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с личным именем Рад (Радко, Радимир). Суффикс -ук в украинской и белорусской традиции часто образует фамилии от имён: Радюк, Радевич, Радун. Радеукая могла возникнуть как вариант Радюк с наращением -ая, но это спорно: для таких фамилий типичнее окончание -ук, а не -укий.

В написании «Радеукая» обращает на себя внимание сочетание «еу» — редкое для русских фамилий, но встречающееся в западных регионах (ср. Радеуцкий). Это указывает на то, что фамилия не прошла через московскую орфографическую норму, а сохранила местное произношение.

Таким образом, если вы ищете свои корни, стоит в первую очередь проверить связь с населёнными пунктами типа Радеуцы в Черновицкой или Хмельницкой областях. Предки могли быть крестьянами или мещанами, переселившимися в центральную Россию или на Кубань, где фамилия и закрепилась в женской форме.