Фамилия Радочинский почти наверняка указывает на географическое происхождение рода, а не на личное прозвище. В её основе лежит название села Радочины, которое стоит в Кременчугском районе Полтавской области Украины. Модель образования простая и типичная для польско-украинских земель: к топониму добавили суффикс -ский, который изначально отвечал на вопрос «откуда родом?». Такой суффикс носили в основном шляхта и духовенство, но со временем он распространился шире, и крестьяне, переезжавшие из своего села в другое место, тоже могли записаться Радочинскими.

Сам топоним Радочины лингвисты обычно выводят от украинского «радощі» — «радость». То есть название села могло быть связано с каким-то радостным событием, праздником или просто с характером местности, которая радовала глаз. Такой корень не редкость в славянской ономастике: рядом можно вспомнить фамилии Радостев, Радош, Радченко, которые тоже тянутся к основе «рад».

Менее убедительной выглядит версия, что фамилия произошла напрямую от имени Радоча, которое считают вариантом древнего славянского имени Радай. Имена с корнем «рад» (Радимир, Радослав, Радогост) были широко распространены в древности, и уменьшительная форма Радоча вполне могла существовать. Однако против этой гипотезы говорит то, что тогда мы ожидали бы увидеть фамилию Радочин или Радочников, а суффикс -ский всё же чаще цепляется к географическим названиям, чем к личным именам.

Ещё одна версия связывает основу с глаголом «радеть», то есть заботиться, усердствовать. В этом случае Радочей могли в шутку или с уважением называть отзывчивого, хлопотливого человека, который радел о чужих делах. Но и здесь возникает то же возражение: от прозвища Радоча логичнее было бы образовать фамилию Радочин, а не Радочинский. Поэтому основная и самая правдоподобная гипотеза остаётся топонимической.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в Полтавской губернии. Село Радочины упоминается в документах XIX века, и крестьяне, бравшие фамилию при переписях, часто просто писались по месту выхода. Встречается фамилия и в Беларуси, и в центральной России — это следы миграций, когда крепостных переводили в другие имения или люди сами уходили на новые земли.