Фамилия Радошко — это не про радость в прямом смысле, хотя корень у неё именно тот. Она образована по модели, характерной для западных и южных славянских территорий, и в этом её главная особенность. Суффикс -ко в украинской, белорусской и польской ономастике — один из самых распространённых уменьшительно-ласкательных или просто фамильных формантов. Он присоединялся к личным именам, прозвищам и названиям занятий, превращая их в фамилии. В случае Радошко основой стало имя Радош — сокращённая форма от славянского имени Радослав или Радомир. Такие имена были популярны в древности: корень «рад» означал «забота», «радость», «желание». Таким образом, Радошко — это буквально «маленький Радош» или «потомок Радоша».

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: основа Радош- плюс суффикс -ко. Важно, что это не отчество в привычном русском понимании (с суффиксами -ов, -ев, -ин), а типичная для Украины и Беларуси форма, которая часто закреплялась как фамилия уже в XVI–XVII веках. В польской традиции суффикс -ko тоже встречается, но реже, и там фамилия могла писаться как Radoszko. В русском языке фамилия Радошко — явление пришлое, скорее всего, от переселенцев с запада.

Географически фамилия Радошко сейчас чаще всего встречается в Беларуси (особенно в Гродненской и Брестской областях), на востоке Польши и в западных областях Украины. В России она редкая и, как правило, связана с миграциями конца XIX — начала XX века. Есть и вторая, менее вероятная версия: что основа происходит не от имени, а от прозвища Радош — так могли назвать жизнерадостного, приветливого человека. Но в славянской ономастике прозвища от прилагательных «радый» или «радостный» обычно давали не напрямую, а через уменьшительные формы имени, так что первая версия убедительнее.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Радченко, Радионов, Радзивилл — показывает, что Радошко стоит ближе к народным, неаристократическим формам. Это фамилия крестьянская или мещанская, без следов дворянского происхождения. В сословном отношении предки Радошко, скорее всего, были свободными землепашцами или ремесленниками, жившими на территории Речи Посполитой. Никаких известных исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано, что только подтверждает её бытовое, «низовое» происхождение.