Фамилия Радышева отвечает на вопрос «чей?» и образована от личного прозвища или имени Радыш. Самая вероятная основа — украинское слово «радий», то есть «радостный». Так могли прозвать жизнерадостного, веселого, смешливого человека. Прозвища, отражающие характер, были естественной частью быта: они не были официальными, но точно описывали человека, и закреплялись за его потомками.

Вторая версия не менее интересна и связана с мирским именем. Радышем могли назвать долгожданного ребенка, появление которого стало для родителей большой радостью. В этом случае имя давали не при крещении, а в быту, и оно несло пожелание счастливой судьбы. Такая практика была распространена на Руси: рядом с церковным именем у человека часто было второе, «домашнее», которое и переходило в фамилию.

Есть и третья гипотеза, менее вероятная: Радыш как производная форма мужского имени Родион. Имя Родион восходит к греческому названию острова Родос и переводится как «житель острова Родос» или «розовый». Когда-то этим именем называли церковнослужителей, затем оно распространилось среди знати и только после этого перешло к рядовым жителям. Но против этой версии говорит то, что уменьшительные формы от Родиона обычно звучат как Родя, Родионка, а Радыш — слишком далекое преобразование.

Суффикс «-ева» указывает на принадлежность: фамилия отвечала на вопрос «чья жена?» или «чья дочь?». Первоначально Радышева — это жена или вдова Радыша, а затем фамилия закрепилась за родом и стала передаваться по наследству. Со временем потомок человека по прозвищу Радыш получил фамилию Радышева, и сегодня она сохраняет память о веселом предке или о ребенке, которого ждали с радостью.