Фамилия Радышев образована от прозвища или мирского имени Радыш, и ее основа напрямую связана с понятием радости. Чаще всего в основе лежит украинское слово «радий», то есть радостный. Так могли прозвать жизнерадостного, веселого, смешливого человека — и тогда фамилия указывает на характер предка.

Правдоподобна и вторая версия: Радыш — мирское имя, которое давали долгожданному ребенку. Появление такого малыша на свет было большой радостью для родителей, и имя закрепляло это чувство. Подобная практика имен-оберегов и имен-пожеланий была широко распространена в старину, поэтому данная гипотеза выглядит даже более убедительной, чем первая: она объясняет, почему имя закрепилось за человеком на всю жизнь.

Существует и третья, менее вероятная версия, связывающая Радыша с уменьшительной формой имени Родион. Само имя Родион переводится с латинского как «житель острова Родос» или «розовый». Когда-то этим именем называли церковнослужителей, затем представителей знати, а после оно распространилось и на рядовых жителей. Однако фонетически переход от Родиона к Радышу менее естественен, чем образование от корня «рад», поэтому эта гипотеза проигрывает первым двум.

Фамилия построена по стандартной модели: к основе Радыш добавили притяжательный суффикс -ев, который указывает на принадлежность. Таким образом, Радышев — это потомок человека по прозвищу или имени Радыш. Модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и мирских имен, и не несет дополнительной сословной окраски: такую фамилию мог получить и крестьянин, и посадский человек.

Отдельного внимания заслуживает написание: в некоторых говорах и старых документах фамилию могли записывать через «а» — Радышев, что соответствует произношению, либо с ударением на первый слог. Это не меняет смысла основы, но объясняет, почему в разных регионах фамилия звучит одинаково, а пишется единообразно.