Фамилия Рассихина — женская форма, мужская, соответственно, Рассихин. В глаза сразу бросается необычное сочетание: корень «-расс-» и редкий суффикс «-ихин». Чтобы понять происхождение, нужно разобраться с основой.

Самая вероятная версия — фамилия образована от прозвища или нецерковного имени Рассиха. Суффикс «-их(а)» в русских говорах часто использовался для обозначения женщины по мужу или по характерному признаку: например, «мельничиха» — жена мельника, «повариха» — женщина, которая варит. Соответственно, Рассиха — это, скорее всего, жена человека по прозвищу Рассый или Рассой. А «рассый» в диалектах (особенно северных и сибирских) могло означать «светлый, русый», иногда — «белесый, седой». В словаре Владимира Даля «рассый» фиксируется как «светлорусый, белокурый». Таким образом, прозвище Рассый давали человеку со светлыми волосами. Его жену в деревне называли Рассихой, а детей, по модели «чьи будете?» — Рассихины. Фамилия закрепилась в форме притяжательного прилагательного с суффиксом «-ин».

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с топонимом. В России есть несколько небольших рек с названием Расса (например, в бассейне Оки). Жителя с берегов такой реки могли прозвать Рассихой. Однако эта гипотеза слабее, так как прозвища от названий рек обычно оформляются суффиксами «-ский» или «-ец» (Рассовский, Рассец), а не «-иха».

Фамилия редкая и явно недворянская. Суффикс «-ихин» (а не «-ов» или «-ин») встречается преимущественно в северных и северо-восточных областях России — в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях. Именно там были распространены «уличные» фамилии на «-их(а)» и «-ых». Поэтому географически предки Рассихиных, скорее всего, выходцы из русского Севера. Никаких сведений о знаменитых носителях фамилии в открытых источниках нет, что только подтверждает её крестьянское, локальное происхождение.