Фамилия Райки — редкий случай, когда географическое происхождение очевиднее, чем значение корня. Она почти наверняка украинская или белорусская, но не русская: суффикс -к- здесь указывает на уменьшительную форму, а окончание -и — на множественное число. В русской традиции фамилии на -их/-ых (типа Рыжих, Долгих) закрепились на Севере и в Черноземье, но Райки к этой модели не относится. В украинском и белорусском языках фамилии на -ки — одна из самых распространенных групп (Шевченко, Коваленко — это патронимы, а вот Гулаки, Райки — прозвищные или топонимические).

Основа «Райк-» — это, скорее всего, не корень «рай» (хотя народная этимология может связывать фамилию с «раем»). Вероятнее, что прозвище Райко дали человеку с громким, «райкающим» голосом. Глагол «райкать» в юго-западных говорах значит «громко кричать, аукать, перекликаться». Такое прозвище мог получить пастух, глашатай или просто обладатель зычного голоса. Вторая версия — от личного имени Райко, которое могло быть уменьшительной формой от Радислав, Ратмир или от редкого крестильного имени Рахиль (в народной переделке). Но первая версия надежнее: прозвища по голосу встречаются во всех славянских языках, а фамилии на -ко с таким значением типичны для Западной Украины и Полесья.

Суффикс -к- в фамилии Райки указывает, что предок был известен в общине именно как Райко — то есть прозвище успело закрепиться до того, как перешло в фамилию. Окончание -и говорит о том, что фамилия сохранила форму множественного числа: так в украинской и белорусской традиции называли семью или род («Райки» — «семья Райка»). В документах XIX века такие фамилии часто писали через «ий» (Райкий), но в устной речи и в метриках закрепилась краткая форма.

Социальный контекст простой: носители фамилии — крестьяне или казаки. Никаких дворянских родов Райки не известно, и это нормально для прозвищной фамилии из западных губерний. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в Волынской, Гродненской или Киевской губернии, а также в приграничных районах современной Беларуси. В России фамилия встречается редко и чаще всего — результат миграции с Украины в XX веке.