Фамилия Решетниткова — женская форма от Решетнитков, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель образования здесь не самая частая: основа «решетник» плюс суффикс -ов, который обычно указывает на принадлежность («чей?» — сын Решетника). Но в этой фамилии мы видим суффикс -итк-, который встречается реже, чем простой -ник-. Это говорит о том, что исходное слово звучало как «решетнитко» — скорее всего, прозвище или уменьшительная форма от «решетник». В русских говорах суффикс -итк- мог придавать оттенок пренебрежения или, наоборот, принадлежности к чему-то конкретному, но в данном случае он просто закрепился в фамилии.

Корень «решет-» ведёт к слову «решето» или «решётка». Решетником на Руси называли мастера, который делал решёта — предметы для просеивания муки, необходимые в каждом крестьянском хозяйстве. Это было ремесло, а не просто прозвище: решетники выделялись в отдельную профессиональную группу, и фамилии от этого слова встречаются в северных и центральных губерниях, где было развито кустарное производство. Однако есть и вторая версия: в некоторых диалектах «решетником» могли назвать человека с рябым лицом (как решето) или того, кто жил возле решётки (например, городской заставы). Первая версия — профессиональная — правдоподобнее, потому что фамилия Решетников (и её варианты) массово фиксируется в переписных книгах XVII–XVIII веков именно за ремесленниками.

Форма Решетниткова, а не Решетникова, встречается реже. Она могла возникнуть в тех регионах, где аканье или местные говоры смягчали произношение: «решетнитко» вместо «решетник». В ономастических работах Б. Унбегауна отмечено, что фамилии с суффиксом -итк- (-итков) характерны для южнорусских и украинских территорий, хотя и не исключены на севере. Если ваш предок носил такую фамилию, он с большой вероятностью был либо ремесленником-решетником, либо потомком человека, получившего такое прозвище за внешность или место жительства. Точных данных о сословной принадлежности носителей фамилии Решетниткова в открытых источниках немного, но судя по модели, это крестьянская или мещанская фамилия, а не дворянская — дворяне чаще брали фамилии на -ский.