Фамилия Реймих — редкий пример, где на русской почве закрепилось немецкое окончание -их, характерное для фамилий немецкого происхождения (сравните: Рейн, Рейман, Реймерс). В русском языке суффикс -их/-ых обычно указывает на принадлежность к роду (например, Петровых), но в данном случае мы имеем дело с прямой транслитерацией немецкой фамилии Reimich или Reimich. Основа — немецкое личное имя Reim, которое восходит к древневерхненемецкому «ragin» — «совет, решение». Полное имя могло звучать как Raginmund или Raginmar, а в народной форме сократилось до Reim. Таким образом, Реймих — это потомок человека по имени Рейм, то есть «советника» или «того, кто даёт совет».

Спорных версий здесь почти нет: фамилия явно немецкая, и попытка вывести её из славянского корня (например, от «рей» или «мих») лишена смысла, так как немецкий формант -их чётко указывает на германскую языковую среду. В Российской империи фамилия могла появиться вместе с переселенцами из немецких земель — например, среди колонистов Поволжья, Причерноморья или Прибалтики. Встречается она и сегодня, но крайне редко: по открытым данным, носители Реймих живут в основном в России (Санкт-Петербург, Москва) и в Германии.

Особенность этой фамилии — её написание. В немецком варианте могла быть двойная «е» (Reimich) или окончание -ich, которое при адаптации к русской орфографии превратилось в -их. В документах XIX века встречаются варианты Реймихъ, Реймигъ, что отражает разное произношение конечного звука. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был либо ремесленником, либо крестьянином-колонистом, а фамилия закрепилась за его потомками как наследственная метка немецкого происхождения.