Фамилия Рудая — это женская форма фамилии Рудой, и ее происхождение напрямую связано с прозвищем, которое давали предку-мужчине. В основе лежит древнерусское слово «руда», но его первоначальное значение сильно отличалось от современного. В старорусском языке «руда» означала не полезное ископаемое, а «кровь», а также «грязь» или «сажу».

Отсюда и раздвоение смысла прозвища. В северных говорах существовал глагол «рудить» — «марать, пачкать, грязнить». Поэтому Рудым могли прозвать человека, чья работа была связана с грязью, например, трубочиста или землекопа. Но прозвище могло указывать и на черту характера — неаккуратность, неряшливость, привычку ходить в замаранной одежде. Впрочем, на Севере была и другая версия: там Рудым нередко называли смуглого или сильно загорелого человека, сравнивая цвет его кожи с оттенком крови или ржавчины.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ой в прозвище Рудой указывает на качественную характеристику человека (как, например, в фамилиях Толстой или Босой). Позже, когда прозвище закрепилось как фамилия, потомки этого человека в женском роде стали писаться Рудая. Такая форма характерна для фамилий, которые не получили стандартный суффикс -ов/-ев, а сохранили исходное окончание прилагательного.

Интересно, что фамилия Рудая встречается в основном в северных регионах России, что подтверждает диалектную природу прозвища. В южных и центральных областях, где слово «руда» уже с XVIII века закрепилось за минералом, подобное прозвище было бы менее понятным. Так что, если ваши предки носили фамилию Рудая, скорее всего, их корни уходят в Поморье или Вологодчину, где это слово сохраняло древнее значение.