Фамилия Ряшев — одна из тех, где ясна словообразовательная модель, но неочевидна основа. Это типичная «патронимическая» фамилия на -ев, то есть образованная от имени или прозвища отца: Ряш → сын Ряша → Ряшев. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий (в данном случае — на «ш»). Сама основа «Ряш» — это усеченная или разговорная форма какого-то полного имени.

Самая вероятная версия — происхождение от канонического имени Иеремия. В народном произношении это имя давало множество сокращений: Ерёма, Еря, Ря. От формы «Ря» через суффикс -ш- (характерный для русских уменьшительных имен, ср. Паша от Павел, Яша от Яков) и образовалось прозвище Ряш. Таким образом, Ряшев — это потомок человека, которого в быту звали Ряшей, то есть Иеремией. Имя Иеремия (древнееврейское «возвышенный Богом») было нередким в крестьянской среде, особенно в XIX веке.

Менее распространенная, но возможная версия — от прозвища, связанного со словом «ряха» или «ряшка». В диалектах «ряха» могло означать неряху, неопрятного человека, либо, наоборот, щеголя (в зависимости от региона). Однако эта версия слабее: прозвища от «ряхи» обычно давали фамилии Ряхин, Ряховский, а форма «Ряш» для такого корня нетипична. Скорее всего, «Ряш» — это именно сокращение от Иеремии.

Фамилия Ряшев не относится к числу широко распространенных. Встречается она преимущественно в южных и центральных регионах России, особенно в Воронежской, Ростовской и Волгоградской областях. Такая география указывает на то, что фамилия закрепилась в среде однодворцев и государственных крестьян, где были в ходу простонародные формы имен. Сословно — это почти наверняка крестьянская фамилия, без дворянских корней. В старых документах, например, в ревизских сказках, можно найти запись «Иван Ряшев» — это значит, что его отца звали Ряш (Иеремия), а не то что сам Иван был каким-то ряшеным.