Фамилия Рыган — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Проще всего предположить в ней связь с глаголом «рыгать», но в русских фамилиях такой корень почти не встречается: он слишком физиологичен и нехарактерен для прозвищ, которые закреплялись в документах. Скорее всего, перед нами искажённая или адаптированная форма другого слова.

Наиболее вероятная версия — связь с диалектным словом «рыган» (или «рыганка»), которое в южнорусских и украинских говорах означало «неряха», «растрёпа», «человек с взлохмаченными волосами». В этом случае фамилия образована от прозвища по внешнему признаку, причём без типичного русского суффикса -ов/-ев. Форма Рыган — это «голая» основа, которая застыла в качестве фамилии. Такое возможно в среде, где фамилии складывались поздно и не всегда проходили стандартную патронимическую обработку (например, у однодворцев или в западнорусских землях).

Менее распространённая, но тоже реальная гипотеза — происхождение от тюркского имени или прозвища. В татарском и башкирском языках есть корень «рыг» (или «рык»), означающий «сила», «мощь», а также личное имя Рыган, которое могло попасть в русскую среду через смешанные браки или переселение. В пользу этой версии говорит и географическая привязка: фамилия Рыган встречается в Поволжье и на Урале, где исторически сильны тюркские влияния.

Обратите внимание на суффикс. Если бы фамилия была образована от крестильного имени (например, от Григорий в форме Рыгор), мы бы ждали окончания -ов: Рыганов. Отсутствие суффикса — сильный аргумент в пользу того, что основа — прозвище, а не имя. В русской ономастике такие «чистые» фамилии без патронимического суффикса (как Шульга, Сорока, Рыган) обычно указывают либо на очень раннее закрепление, либо на неправославное происхождение.

Сравните с однокоренными фамилиями: Рыгалов, Рыгалин. В них суффиксы -ов и -ин указывают на отчество, то есть на имя Рыгало или Рыгаля, что тоже возможно, но для Рыган это нехарактерно. Фамилия Рыган стоит особняком — она короче и архаичнее по форме.

Таким образом, если ваши предки родом из южных областей России или Украины, ищите прозвище по внешности. Если из Поволжья или Приуралья — стоит проверить тюркские корни. Точных данных о сословной принадлежности носителей фамилии Рыган в открытых источниках нет, но её редкость и нестандартная форма говорят о том, что она могла возникнуть в крестьянской или казачьей среде, где фамилии складывались стихийно, без участия церкви и приказных писцов.