Фамилия Рыкунич происходит от прозвища Рыкун, и в основе её лежит глагол «рыкать» — издавать резкие, отрывистые звуки, похожие на звериный рык, или говорить грубо и недоброжелательно. Проще говоря, Рыкуном могли назвать крикливого ребёнка или взрослого с необычайно громким голосом, который слышно было за версту.

Однако есть и менее очевидный вариант толкования. В тверских говорах существовало нарицательное «рык» — мера расстояния. Выражения вроде «на коровий рык» или «на четыре коровьих рыка» означали дистанцию, на которую доносится мычание. Если прозвище связано с этим словом, то Рыкуном могли иронично прозвать человека невысокого роста — мол, такой «рык» от него недалеко.

Сама фамилия образована по модели отчества с суффиксом -ич, который указывает на сына Рыкуна. Такая форма типична для белорусской и западнорусской традиции, где патронимы на -ич закреплялись в качестве наследственных фамилий раньше, чем в центральных областях России.

Прозвище Рыкун, изначально присоединённое к наследственному имени, со временем полностью заменило его — и в повседневной жизни, и в официальных документах. Так за потомками и закрепилось это звучное, немного звериное, но по-своему колоритное семейное имя.