Фамилия Салагаев в основе своей имеет прозвище или личное имя Салагай, и корни ее уходят в тюркскую языковую среду. Это типичная модель для восточных фамилий, где к основе, оканчивающейся на согласный, присоединили русский патронимический суффикс -ев (после мягкого звука [й] пишется именно «ев», а не «ов»). Так что Салагаев буквально означает «сын Салагая», «потомок Салагая».

Самая правдоподобная версия связывает прозвище с шорским языком, где слово «салагай» переводится как «голенастый» или «гладкий». Вряд ли это было обидное прозвище: скорее, так могли назвать человека стройного, с длинными ногами, либо, наоборот, опрятного, без изъянов — «гладкого» в смысле ухоженного. Такие прозвища по внешнему виду давали часто и они легко закреплялись за родом.

Есть и другая, менее очевидная гипотеза, которую тоже стоит упомянуть. Возможно, в основе лежит не прозвище, а личное имя Салагай, которое восходит к тюркско-татарскому корню «сал» или «саллы» — «крепкий, здоровый». В этом случае имя давали как пожелание силы и выносливости ребенку. Отдельные исследователи выводят основу из лезгинского «салагъ» — «закон», но эта версия выглядит спорной: она объясняет только созвучие, но не объясняет, как такое слово стало личным именем у предков носителей фамилии.

Интересно, что фамилия Салагаев встречается не только у русских, но и у многих тюркских народов — татар, башкир, шорцев, — что подтверждает ее восточные корни. В русскую среду она попала через межэтнические контакты, вероятно, в XVI-XVII веках, когда служилые люди и крестьяне из поволжских и сибирских земель активно смешивались с местным населением. Именно тогда прозвища и имена тюркского происхождения массово превращались в русские фамилии с суффиксами -ов и -ев.

Стоит отметить, что фамилия эта не слишком распространена, что говорит о ее локальном, а не общерусском происхождении. Скорее всего, она зародилась в одном конкретном регионе — например, в Сибири или на Алтае, где шорский язык был широко распространен, — и оттуда уже разошлась по другим областям. Если вы носите эту фамилию, есть смысл искать свои корни именно в тех местах, где тюркские языки соседствовали с русским.